Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» для 11 класса за 2023/24 учебный год. В выбранном комплекте: 30 задач и 6 файлов для подготовки.
Три натуральных числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если ко второму прибавить 2, а к третьему прибавить 12, то получатся три последовательных члена геометрической прогрессии. Чему равна сумма трёх данных чисел, если знаменатель геометрической прогрессии равен 3?
Первый пешеход отправился из пункта A в пункт B, и одновременно с ним второй пешеход отправился из пункта B в пункт A. Они встретились через 3 часа. Известно, что второму пешеходу на прохождение 19% пути AB требуется на dfrac{21}{25} часа больше, чем первому пешеходу на прохождение dfrac1{11} пути A
Сколько есть способов расставить 6 книг в шкафу с 10 полками так, чтобы 4 заданные книги из этих 6 стояли на одной полке рядом друг с другом (в любом порядке), если расстановки, отличающиеся порядком книг на полке, считаются различными?
На рёбрах SA, SB треугольной пирамиды SABC отмечены точки Q, P соответственно, причём SQ:QA=3:5 и SP:PB=1:5; R — точка пересечения медиан треугольника ABC. Плоскость PQR пересекает ребро BC в точке D. Найдите длину отрезка CD, если известно, что длина BC=7.
Внутри прямоугольника PQST расположены окружности Ω и ω, касающиеся друг друга в точке C. Известно, что окружность Ω касается сторон PQ, PT, ST, а окружность ω — сторон PQ и QS; кроме того, прямая CS является общей касательной к окружностям. Найдите радиус R окружности Ω, если известно, что радиус о
За круглый стол сели 138 мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Угол A остроугольного треугольника ABC равен 60circ, а AB>AC. Пусть I — точка пересечения биссектрис, а H — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите angle ABC, если angle AHI=78circ. Ответ укажите в градусах.
Найдите вероятность, что у случайно выбранного восьмизначного нечётного числа все цифры являются нечётными. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.
Известно, что при некоторых x,y∈(0;π] ровно два из четырёх чисел sin2x, sin2y, sin2x+cos2y+2-cos22x, 2+sin22x равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения dfrac{x-y}{π}.
Даны 13 натуральных чисел, в записи которых встречается одна-единственная цифра (например, 7, 7, 777, 77,...). Сколько цифр использовано для записи всех 13 чисел, если известно, что сумма этих чисел равна 10,278?
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с основанием ABC, длины всех рёбер которой равны между собой. На рёбрах A1C1, B1B и BC отмечены точки P, Q и R соответственно, причём A1P:A1C1=2:5, B1
В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, известно, что AB=48, BC=60, CD=24, AD=12. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC — в точке F. Найдите квадрат длины отрезка EF.
В каждую клетку доски 26 × 25 клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любом «уголке» из 3 клеток стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наименьшее количество чёрных шашек может стоять на доске?
За круглый стол сели 95 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть
Коля записывает в тетрадь натуральные числа. Первым он пишет число 4, вторым — число 6. Каждое следующее число он пишет по следующему правилу. Если последними записанными числами были числа a и b (в указанном порядке), то следующим он записывает наименьшее составное число, которое больше, чем 2b-a.
Пусть Sk обозначает сумму первых k членов прогрессии. Известно, что для некоторой арифметической прогрессии при всех натуральных значениях n справедливо соотношение S3n-Sn=12n2+n. Найдите восьмой член прогрессии.
В кондитерской продаётся 8 видов пирожных, 8 видов конфет, 8 видов булочек и 8 видов печенья. Сколькими способами можно купить 6 различных десертов в этой кондитерской так, чтобы среди них обязательно было хотя бы по одному пирожному, конфете, булочке и печенью?
Сумма двух четырёхзначных чисел, не оканчивающихся на ноль, равна 5786. Вася записывает оба данных числа в обратном порядке (например, если дано 3811, то Вася запишет 1183). Какова наибольшая возможная сумма чисел, записанных Васей?
В магазине 5 килограммов моркови стоят столько же, сколько 4 килограмма свёклы и 1 килограмм картофеля. Известно, что если купить по 6 килограммов самого дорогого и самого дешёвого из этих овощей и добавить к этой покупке 2 килограмма моркови и 3 килограмма картофеля, то стоимость этого набора овоще
Точка K расположена вне окружности Ω с центром O, точка M — внутри Ω, а точка P — на Ω. Отрезок KM пересекает Ω в точке L, а прямая KP касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что OM=2, LM=5, KL=9, KP=12.
У Пети есть 10 карточек, на каждой из которых написано одно натуральное число. Все числа на карточках попарно различны, а наибольшее из них равно N. Оказалось, что среднее арифметическое чисел на карточках равно 15. Какое наименьшее значение может принимать N?
В треугольной пирамиде ABCD углы ACB, BCD и ACD прямые. На рёбрах CD, AC и BD отмечены точки P, Q и R соответственно, причём dfrac{DP}{DC}=dfrac{AQ}{AC}=dfrac13, dfrac{DR}{DB}=dfrac12. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью PQR, если известно, что AC=3, BC=4, а угол между плоскостью PQR и
За круглым столом сидят 15 волшебников. У каждого из них по одной волшебной палочке. Волшебники договорились, что некоторые из них будут говорить только правду, а другие — неправду. Каждый из них отдал свою волшебную палочку одному из двух своих соседей. После этого 5 волшебников сказали: «Теперь у
На гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки P и Q (P лежит между A и Q) такие, что AP2+BQ2=PQ2=√(578). Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника CPQ окружности.
