Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Угол остроугольного треугольника равен , а . Пусть — точка пересечения биссектрис, а — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите , если . Ответ укажите в градусах.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть и симметричны и соответственно относительно стороны . Тогда — равнобедренная трапеция, а . Обозначим через окружность, описанную около треугольника . В любом треугольнике точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно одной из его сторон, лежит на окружности, описанной около этого треугольника, следовательно, . Далее находим, что

откуда следует, что сумма противоположных углов четырёхугольника равна и . Значит,

и .

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

На гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки P и Q (P лежит между A и Q) такие, что AP²+BQ²=PQ²=√(578). Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника CPQ окружности.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 8

Дана треугольная пирамида SABC. Известно, что ортогональные проекции рёбер SA, SB, SC на плоскость ABC имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра SC на плоскость SAB и ортогональная проекция ребра SB на плоскость SAC. Найдите отношение AB:AC, если известно, что оно не

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

В треугольнике ABC проведены высота AH и биссектриса AD. Точка H лежит между точками B и D. Найдите sinangle HAD, если BH=1, HD=3, CD=12.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

Точки P и Q — середины сторон AB и AC треугольника ABC соответственно, а X — точка пересечения перпендикуляра к AB, проходящего через точку A, с перпендикуляром к BC, проходящим через точку Q. Найдите длину отрезка BC, если известно, что PX=29, а угол BAC острый и sinangle BAC=dfrac18.

Сложная

Планиметрия