Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 7

Внутри прямоугольника расположены окружности и , касающиеся друг друга в точке . Известно, что окружность касается сторон , , , а окружность — сторон и ; кроме того, прямая является общей касательной к окружностям. Найдите радиус окружности , если известно, что радиус окружности есть . Ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть и — центры окружностей и соответственно; — основание перпендикуляра, опущенного из точки на сторону . Обозначим точки пересечения прямой, проходящей через точку параллельно стороне , с прямыми и через и соответственно. Так как , , то . Значит,

С другой стороны, и

Отсюда получаем уравнение . Если , то

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ AC является диаметром, а AB=BD. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины C до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла ABD.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Угол A остроугольного треугольника ABC равен 60^circ, а AB>AC. Пусть I — точка пересечения биссектрис, а H — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите angle ABC, если angle AHI=78^circ. Ответ укажите в градусах.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

В вершинах правильного 50-угольника разместили 49 белых и 1 чёрную фишки. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 7

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, известно, что AB=48, BC=60, CD=24, AD=12. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC — в точке F. Найдите квадрат длины отрезка EF.

Сложная

Планиметрия