Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 10
Коля записывает в тетрадь натуральные числа. Первым он пишет число , вторым — число . Каждое следующее число он пишет по следующему правилу. Если последними записанными числами были числа и (в указанном порядке), то следующим он записывает наименьшее составное число, которое больше, чем . Какое число он запишет -м?
Ответ
Ответ. .
Решение. Обозначим выписанные Колей числа , . Запишем несколько следующих чисел: , , , . Заметим, что при справедливо равенство: . Если оно является верным, то
Докажем это равенство по индукции. При оно верно. Пусть оно верно при и покажем, что оно верно при . Имеем: — это число, большее, чем , т. е.
Но данное число при любом составное, так как является произведением двух чисел разной чётности, каждое из которых больше . Значит, именно об этом числе и идёт речь в условии. Поэтому