Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9
За круглым столом сидят волшебников. У каждого из них по одной волшебной палочке. Волшебники договорились, что некоторые из них будут говорить только правду, а другие — неправду. Каждый из них отдал свою волшебную палочку одному из двух своих соседей. После этого волшебников сказали: «Теперь у меня нет волшебной палочки», а остальные волшебников сказали: «У меня по-прежнему ровно одна волшебная палочка». Какое наибольшее число волшебников могло сказать правду?
Ответ
Ответ. .
Решение. После передачи палочек у каждого из волшебников может оказаться , или палочки. А суммарное число палочек будет равно . Если волшебник солгал, то он назвал число, которое отличается от настоящего на или . По ответам суммарное число палочек отличается от настоящего на . Поэтому не меньше волшебников должны были солгать. Поэтому правду сказали не больше волшебников.
Покажем, как волшебникам передавать палочки и говорить правду (П) или ложь (Л), чтобы правду сказали волшебников. На схеме показано, как передавать палочки, в скобках указано, сколько палочек будет после передачи. Все говорящие ложь должны говорить, что у них нет палочки.
← П() — П() → П() → П() → ... → П() → Л() → Л() ↔ Л() ←