Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» для 11 класса за 2024/25 учебный год. В выбранном комплекте: 30 задач и 6 файлов для подготовки.
Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке P. Известно, что AP=1, BP:PC=2, а высота BH треугольника ABC равна 0,5. Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника ACP.
Ваня с родителями ест плитку шоколада. Сначала мама откусила dfrac1{13}-ю часть плитки, а оставшуюся часть отдала Ване. Затем Ваня откусил dfrac1{13}-ю часть от того, что осталось, и отдал остальное папе. После этого папа откусил dfrac1{13}-ю часть от полученного и отдал остаток маме. Далее мама сно
Биссектрисы прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC пересекаются в точке P. Окружность с диаметром BP пересекает катеты AB и BC в точках K и M соответственно. Прямые KP и MP пересекают гипотенузу в точках E и T соответственно. Найдите площадь четырёхугольника KBMP, если PT=3, EP=4.
У Серёжи имеется новогодний подарок из N конфет, в котором есть конфеты только трёх типов: карамельки, шоколадные и ириски. Серёжа заметил, что если он сейчас съест несколько ирисок, то вероятность того, что он вытянет шоколадную конфету, удвоится; вероятность того, что он вытянет ириску, будет равн
Пункт B расположен на прямолинейной дороге между пунктами A и C, причём AB:BC=8. Первоначально Тигра и Пятачок находятся в пункте A, Винни-Пух — в пункте B, а Кролик — в пункте C. Они одновременно начинают движение, при этом Тигра и Пятачок идут из A в C, Винни-Пух — из B в C, а Кролик — из C в A. Н
Дана треугольная пирамида SABC. Известно, что ортогональные проекции рёбер SA, SB, SC на плоскость ABC имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра SC на плоскость SAB и ортогональная проекция ребра SB на плоскость SAC. Найдите отношение AB:AC, если известно, что оно не
В вершинах правильного 30-угольника разместили 28 белых и 2 чёрных фишки, причём чёрные фишки лежат в соседних вершинах. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?
Олег выписал в строку 110 последовательных натуральных чисел, больших 50,000. Оказалось, что 12-е число делится на 12, 75-е — на 75, а 110-е — на 110. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?
Про вещественное число x известно, что sin x+1001cos x=1000. Найдите максимальное значение выражения |1001sin x-cos x|. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Натуральное число N имеет 198 различных натуральных делителей (включая единицу и само число N), а количество различных натуральных делителей числа 13N (включая единицу и само число 13N) равно 264. Определите минимально возможное значение N.
Расстояние между центрами двух квадратов со стороной 1 равно 0,8, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?
В треугольнике ABC со стороной BC=3√(193) ортогональные проекции медианы BM на прямые AB и AC равны и имеют длину 25,2. Найдите длину биссектрисы AL треугольника ABC.
В бесконечной числовой последовательности x1,x2,x3,ldots,xn,ldots не все члены равны между собой. Для всех n∈mathbb N справедливо соотношение 3xn+2-4xn+1+xn=0. Найдите наибольшее возможное значение выражения dfrac{x202
Площади трёх земельных участков образуют геометрическую прогрессию. С трёх участков берётся налог общей суммы S, которая распределяется пропорционально площади участков. Площадь каждого участка увеличили на 13 гектаров, в результате чего площадь большего участка стала ровно в 2 раза больше площади м
В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади dfrac{1625}{4}, dfrac{1885}{4}, 585, образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна 360. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.
В некоторые из 40 конвертов положили по одной открытке. Известно, что количество положенных открыток чётно. За одну операцию можно выбрать любые два конверта и узнать, есть ли в этих конвертах хотя бы одна открытка. За какое наименьшее количество таких операций можно гарантированно найти какой-нибуд
Для каждого целого k (-36≤ k≤15) Петя выписал на доску трёхчлен y=x2+kx+117. После чего Вася для каждого из этих трёхчленов выписал его действительные корни (если они есть). Чему равна сумма выписанных Васей чисел?
Ваня выписал на доску подряд все целые части от деления каждого из чисел 12, 22, ldots, 20242 на 2024, пропуская все повторяющиеся значения. Сколько всего чисел он выписал?
Вася выписал в строку натуральные числа a1210. Оказалось, что среднее арифметическое этих чисел равно 25. Какое наименьшее значение может принимать число a10?
Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости α. Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости α, их объёмы равны 1, а отношение радиусов оснований равно 3. Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков по
В треугольнике PQR на стороне PQ выбрана точка K, а на стороне QR — точка L. Отрезки PL и KR пересекаются в точке T. Чему равна площадь треугольника PQR, если SPKT=10, SPTR=11, SRTL=12?
Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ AC является диаметром, а AB=BD. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины C до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла ABD.
Каждый из 11 учеников записал к себе в тетрадь какие-то натуральные числа, не превосходящие N. Оказалось, что если взять любых 6 учеников, то в их тетрадях можно найти любое натуральное число, не превосходящее N, а если взять любых 5 учеников — нет (то есть найдётся число, которого нет ни в одной те
