Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10
Каждый из учеников записал к себе в тетрадь какие-то натуральные числа, не превосходящие . Оказалось, что если взять любых учеников, то в их тетрадях можно найти любое натуральное число, не превосходящее , а если взять любых учеников — нет (то есть найдётся число, которого нет ни в одной тетради этих учеников). При каком наименьшем такое может быть?
Ответ
Ответ. .
Решение. По условию для любых учеников найдётся число, которого у них нет в тетрадях. Зафиксируем одно такое число для каждой пятёрки. Заметим, что для разных пятёрок зафиксированные числа различны, в противном случае найдётся число, которого нет у некоторых учеников. Поэтому не меньше количества пятёрок, которые можно выбрать из человек, то есть . С другой стороны, если , а каждому из чисел соответствует своя пятёрка (числа нет ни у кого из этой пятёрки), то условие задачи выполняется.