Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада школьников «Физтех» по математике, Отборочный этап, 2025, 11 класс, Второй тур

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 9

В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади , , , образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна . Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. .

Решение. Известно, что в пирамиде, боковые грани которой образуют равные двугранные углы с основанием, вершина проецируется в центр вписанной окружности основания, а высоты боковых граней, проведённых из вершины пирамиды, равны. Обозначим через длины этих высот, а через — высоту пирамиды, проведённую из вершины к основанию. Обозначим также через величину двугранного угла, под которым боковые грани наклонены к основанию пирамиды. Если — площадь основания, а , и — площади боковых граней, то из формулы площади ортогональной проекции получаем

Объём пирамиды будем вычислять по формуле

Остаётся вычислить высоту боковой грани , проведённую к ребру основания пирамиды. Заметим, что стороны основания пирамиды равны , и . Если , то из формулы Герона следует, что

Итак, получаем окончательно, что

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 7

В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, известно, что AB=48, BC=60, CD=24, AD=12. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC — в точке F. Найдите квадрат длины отрезка EF.
Сложная
Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Центр окружности ω радиуса R расположен на гипотенузе AC треугольника ABC. Известно, что ω пересекает AC в точках P и E (P лежит между A и E) и касается обоих катетов треугольника ABC. Найдите CE, если AP=4, а радиус окружности ω равен 10,5.
Сложная
Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8

Окружности ω1 и ω2 имеют радиусы 5 и 8, а расстояние между их центрами больше 13. Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.
Сложная
Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ AC является диаметром, а AB=BD. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины C до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла ABD.
Сложная
Планиметрия