Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

Из точки проведены две перпендикулярные друг другу касательные к параболе . Найдите минимально возможную ординату точки .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть угловые коэффициенты касательных равны и . Так как , абсциссы точек касания и удовлетворяют соотношениям , , откуда , . Уравнения касательных имеют вид

Умножая второе уравнение на и складывая, получаем , откуда следует, что . Таким образом, ординаты всех точек пересечения таких касательных одинаковы и равны .

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, четвёртый тур, задача 3

Найдите количество различных значений функции f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+[(4x/3)] на отрезке x∈[0;75]. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 9

Города X и Y расположены на реке, причём X — выше по течению, а между ними находится пристань Π. В 8{:}00 катамаран и лодка находились в городе X, плот — у пристани Π, а катер — в городе Y. Они одновременно начали движение: катер — вверх по течению, а катамаран, лодка и плот — вниз по течению. Извес

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

Числа a, b, c с нулевой суммой таковы, что frac1{a²}+frac1{b²}+frac1{c²}=49. Какое наименьшее значение может принимать выражение frac1a+frac1b+frac1c?

Сложная

Выражения и преобразования

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 9

Про многочлен q(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ известно, что каждый из коэффициентов a₀,ldots,a₅ равен либо +1, либо -1, а значение q(2)=-37. Найдите q(-3).

Сложная

Выражения и преобразования