Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 9
Сколько пар натуральных чисел таких, что сумма чётна, удовлетворяют равенству ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Правая часть равенства имеет остаток от деления на . Левая часть имеет остаток от деления на , только если имеет остаток или от деления на .
Разберём эти случаи.
Пусть , где — целое неотрицательное число. Тогда равенство можно преобразовать к виду . Заметим, что для каждого целого такого, что , число определяется однозначно и является натуральным. Также заметим, что всегда чётно, поэтому нечётно. Тогда сумма будет чётной, если — чётное число. Значит, количество пар в этом случае равно количеству чётных таких, что , то есть . Отсюда количество пар равно .
Пусть . Тогда равенство можно преобразовать к виду . Аналогично предыдущему случаю получаем, что количество пар равно количеству чётных таких, что , то есть . Отсюда количество пар равно .
Общее количество пар равно .