Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 8

Дана треугольная пирамида . Известно, что ортогональные проекции рёбер , , на плоскость имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра на плоскость и ортогональная проекция ребра на плоскость . Найдите отношение , если известно, что оно не равно , а .

Ответ

Ответ. .

Решение. Так как проекции боковых рёбер на плоскость основания равны, то и сами боковые рёбра равны, то есть . Проекции равных рёбер и на противоположные им боковые грани равны между собой, поэтому равны и высоты пирамиды, проведённые из вершин и на грани и . Но из формулы объёма пирамиды отсюда следует равенство площадей этих граней.

Грани и — это равнобедренные треугольники с одинаковыми боковыми сторонами, причём ввиду того, что , эти треугольники не равны между собой. Из равенства их площадей следует, что , а так как эти углы не равны, .

Пусть . Тогда , , . Отсюда имеем

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Центр окружности ω радиуса R расположен на гипотенузе AC треугольника ABC. Известно, что ω пересекает AC в точках P и E (P лежит между A и E) и касается обоих катетов треугольника ABC. Найдите CE, если AP=4, а радиус окружности ω равен 10,5.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

Точки P и Q — середины сторон AB и AC треугольника ABC соответственно, а X — точка пересечения перпендикуляра к AB, проходящего через точку A, с перпендикуляром к BC, проходящим через точку Q. Найдите длину отрезка BC, если известно, что PX=29, а угол BAC острый и sinangle BAC=dfrac18.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ AC является диаметром, а AB=BD. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины C до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла ABD.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

На рёбрах BC, AB и A₁B₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки K, L и M соответственно так, что BC:BK=AL:LB=B₁M:MA₁=2. Прямая ell пересекает прямые CD, C₁K, B₁D₁ и LM в четыр

Сложная

Планиметрия