Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 2
Найдите количество пар целых чисел , удовлетворяющих уравнению .
Ответ
Ответ. .
Решение. Раскладывая левую часть на множители, получаем . Так как каждый из множителей должен быть целым числом, получаем
Рассмотрим первую систему. Решая её, находим, что
В выражении для в числителе дроби при любом записана разность двух нечётных чисел; она чётна и потому делится на , то есть . Что касается , нужно исследовать, делится ли числитель на . Так как , , получаем
При любом целом числа и имеют разную чётность, следовательно, , и числитель дроби делится на . Итак, при любых значениях получаем, что и — целые. Таким образом, первая система имеет решений. Аналогично устанавливается, что и вторая система имеет решений, и общее количество решений составляет .