Среди всех решений уравнения 3,930,400x=yz, где x, y, z — натуральные числа, причём z≥2, найдите такое, при котором x принимает наименьшее значение. В ответе укажите соответствующее значение y. Трапеция ABCD, основание AD которой вдвое больше основания BC, вписана в окружность ω. Прямая, проходящая через вершину B параллельно CD, пересекает вторично окружность ω в точке P, а сторону AD — в точке N. Найдите периметр трапеции ABCD, если известно, что BN=4, PN=9. В арифметической прогрессии, состоящей из 11 членов, сумма квадратов первых пяти членов на 0,75 больше суммы квадратов последних пяти членов. Найдите разность между суммой квадратов первых четырёх членов и суммой квадратов последних четырёх членов этой прогрессии. Даны две концентрические окружности Ω и ω с центром в точке O, причём радиус Ω больше радиуса ω. На луче с началом в точке O, пересекающем окружность Ω в точке A, отмечена точка B такая, что OB>OA. На окружности ω выбраны точки K и M таким образом, что прямые AM и BK касаются этой окружности. Прямая На доске написаны подряд идущие натуральные числа от 1 до 301 (каждое из них ровно один раз). Сколькими способами можно стереть три из написанных чисел так, чтобы остаток от деления суммы всех чисел на доске на 3 после этого не изменился? Из пункта A в пункт C по прямолинейной железной дороге с постоянной скоростью 60 км/ч движется поезд. В точке B, расположенной на расстоянии 2 км от железной дороги и на расстоянии 3 км от точки A, находится мотоциклист. С какой минимальной постоянной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы до Найдите количество всех пар натуральных чисел (x;y), при которых является верным равенство x2+x+5y=1,000,002. Для положительных чисел x и y с суммой 7 Петя выписал на доску числа (x2+y2/x+y),qquad (x3+y3/x2+y2),qquad (x4+y4/x3+y3). Оказалось, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию ( Города X и Y расположены на реке, причём X — выше по течению, а между ними находится пристань Π. В 8{:}00 катамаран и лодка находились в городе X, плот — у пристани Π, а катер — в городе Y. Они одновременно начали движение: катер — вверх по течению, а катамаран, лодка и плот — вниз по течению. Извес В вершинах правильного 50-угольника разместили 49 белых и 1 чёрную фишки. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника? Сколькими способами из натуральных чисел от 1 до 100 можно выбрать три числа так, чтобы одно из них равнялось среднему арифметическому двух оставшихся? Олег должен написать в тетради 373 подряд идущих натуральных числа таких, что их среднее арифметическое — простое число. Какое наименьшее число он мог написать в тетради? На доске написано число 23,456,789. Петя заменил в нём 5 цифр: 4 последние цифры и ещё какую-то. В итоге получилось восьмизначное число, делящееся на 48, притом минимально возможное. Что это за число? Найдите максимальное значение отношения dfrac xy, если 90-12y+y2-16x+x2=0. Окружность с центром I вписана в треугольник ABC и касается его стороны BC в точке D. Пусть E — середина BC, а точка F взята на стороне AC так, что BFperp AI. Найдите длину отрезка CF, если AB=20, BC=16, DE=2. Антон выписал на доску числа A1, A2, A3, ldots, A2025 такие, что не все они равны между собой. Внимательно изучив числа на доске, Константин заметил следующую закономерность: для любого натурального значения k∈[2;2024] число Ak+1-Ak в Какое наименьшее значение может принимать сумма 20 различных натуральных чисел таких, что ни одно из которых не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7; сумма любых двух чисел делится на 2; сумма любых трёх чисел делится на 3; сумма любых пяти чисел делится на 5; сумма любых семи чисел делится на Окружности ω1 и ω2 имеют радиусы 5 и 8, а расстояние между их центрами больше 13. Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям. В лесничестве организовали три пункта A, B, C подкорма птиц на время зимних холодов. В силу особенностей их расположения в пункт A прилетает больше всего птиц, а в пункт C — меньше всего. Ежедневно на эти три пункта в сумме выделяется S килограммов корма, который распределяется пропорционально колич Фокусник попросил 60 зрителей загадать различные числа, каждого — одно число. За один вопрос фокусник может выбрать любых трёх зрителей и спросить, какие числа они загадали. В ответ ему скажут множество из трёх чисел. За какое наименьшее количество вопросов фокусник может указать, какие числа загада 
