Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

В вершинах правильного -угольника разместили белых и чёрную фишки. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?

Ответ

Ответ. .

Решение. Опишем вокруг многоугольника окружность. Если три вершины образуют прямоугольный треугольник, то гипотенуза является диаметром этой окружности.

Возможны два случая.

. Угол с чёрной фишкой — прямой. Тогда гипотенузу можно выбрать способами.

. Угол с чёрной фишкой — не прямой. Значит, диаметр с концами в вершинах с белой и чёрной фишками является гипотенузой. Оставшуюся вершину прямого угла можно выбрать способами.

Общее количество способов есть .

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

В треугольной пирамиде ABCD углы ACB, BCD и ACD прямые. На рёбрах CD, AC и BD отмечены точки P, Q и R соответственно, причём dfrac{DP}{DC}=dfrac{AQ}{AC}=dfrac13, dfrac{DR}{DB}=dfrac12. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью PQR, если известно, что AC=3, BC=4, а угол между плоскостью PQR и

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Угол A остроугольного треугольника ABC равен 60^circ, а AB>AC. Пусть I — точка пересечения биссектрис, а H — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите angle ABC, если angle AHI=78^circ. Ответ укажите в градусах.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В треугольнике PQR на стороне PQ выбрана точка K, а на стороне QR — точка L. Отрезки PL и KR пересекаются в точке T. Чему равна площадь треугольника PQR, если S_PKT=10, S_PTR=11, S_RTL=12?

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ AC является диаметром, а AB=BD. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины C до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла ABD.

Сложная

Планиметрия