Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 10
Фокусник попросил зрителей загадать различные числа, каждого — одно число. За один вопрос фокусник может выбрать любых трёх зрителей и спросить, какие числа они загадали. В ответ ему скажут множество из трёх чисел. За какое наименьшее количество вопросов фокусник может указать, какие числа загадал каждый из зрителей?
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть фокусник задал вопросов. Заметим, что нужно спросить про числа у каждого зрителя. Пусть есть зрителей, которых спрашивали ровно один раз. Тогда в одном вопросе не может встретиться двух таких зрителей, иначе они могут «обменяться числами». Следовательно, . Других зрителей спрашивали хотя бы два раза. Если просуммировать для каждого зрителя количество вопросов, в которых он участвовал, то получится утроенное количество вопросов. Значит,
откуда .
Покажем, как узнать требуемое за вопросов. Для этого разобьём зрителей на шестёрок и покажем, как за вопроса определить числа в одной шестёрке. Пусть люди в шестёрке — это , , , , , . Тогда спросим числа у троек , и . Зрители , , участвуют в двух вопросах (разные зрители — в разных парах вопросов). Поэтому их числа можно определить. А оставшиеся числа зрителей , , определяются однозначно.