Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 1
Среди всех решений уравнения , где , , — натуральные числа, причём , найдите такое, при котором принимает наименьшее значение. В ответе укажите соответствующее значение .
Ответ
Ответ. .
Решение. Раскладывая данное в условии число на простые множители, можем записать уравнение в виде . Ясно, что минимальное значение можно получить в том случае, когда при разложении на множители в не содержится иных множителей кроме , , . Пусть . Тогда
Отсюда следует, что числа , и должны делиться на .
Если , то минимальные значения — это , , , и тогда . Если , то , , и . Несложно видеть, что это и есть минимальное значение (если , то и ). Если , а , то .