Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8
Окружности и имеют радиусы и , а расстояние между их центрами больше . Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть — точка пересечения общих внутренних касательных, и — точки пересечения этих касательных с общей внешней касательной (притом отрезок касается окружности радиуса , а его продолжение — окружности радиуса в точке ; отрезок касается в точке ; продолжение за точку касается в точке ). Используя равенство отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, получаем, что полупериметр треугольника есть
Окружность является вневписанной для треугольника , следовательно, площадь треугольника может быть выражена по формуле , где — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, — его полупериметр. Итак,