Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 2

Трапеция , основание которой вдвое больше основания , вписана в окружность . Прямая, проходящая через вершину параллельно , пересекает вторично окружность в точке , а сторону — в точке . Найдите периметр трапеции , если известно, что , .

Ответ

Ответ. .

Решение. Исходя из условия и — трапеции (а так они обе вписаны в окружность, то обе равнобедренные), а — параллелограмм. Обозначим . Тогда , , , . По теореме о пересекающихся хордах имеем , то есть и . Значит, периметр трапеции равен

Если конструкция не существует, принимаются также ответы «» и «нет решений».

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 1

Точки K, M, P лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC соответственно. Известно, что BKPM — квадрат, а расстояния от точек K и M до прямой AC равны 13 и 17 соответственно. Найдите площадь квадрата BKPM.

Простая

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 1

Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке P. Известно, что AP=1, BP:PC=2, а высота BH треугольника ABC равна 0,5. Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника ACP.

Простая

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 2

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Точки P и Q — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и BCH соответственно, а √6 и √(24) — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника HPQ.

Простая

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 2

Биссектриса внутреннего угла при вершине A и биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекаются в точке E. Найдите angle BAC, если angle BEC=69^circ. Ответ укажите в градусах.

Простая

Планиметрия