Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» для 9 класса за 2024/25 учебный год. В выбранном комплекте: 20 задач и 4 файла для подготовки.
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Точки P и Q — центры окружностей, вписанных в треугольники ABH и BCH соответственно, а √6 и √(24) — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника HPQ.
Ваня и Лёня бегают по круговой дорожке стадиона 500-метровой длины в одном направлении. Ваня бежит с постоянной скоростью v км/ч, но он начал пробежку на 23 минуты позже Лёни. А Лёня бежит с постоянной скоростью 12 км/ч, но останавливается на 1 минуту каждые 300 метров. С какой скоростью v бежит Ван
Точка E лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, и при этом angle CED=90circ. Точки O, P, Q являются центрами окружностей, описанных около треугольников ADE, BCE, CDE соответственно. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если OQ=20, OP=29.
Есть 300 карточек с числами от 1 до 300 (на каждой карточке написано ровно одно число, числа на карточках попарно различны). Сколькими способами можно выбрать три карточки, чтобы сумма чисел на них была кратна 3?
Ненулевые числа a, b, c таковы, что (a/b+c-5a) =(b/a+c-5b) =(c/a+b-5c). Какое наименьшее значение может принимать выражение (2b/a) +(2c/a) +(5a/b) +(5c/b)?
Центр окружности ω радиуса R расположен на гипотенузе AC треугольника ABC. Известно, что ω пересекает AC в точках P и E (P лежит между A и E) и касается обоих катетов треугольника ABC. Найдите CE, если AP=4, а радиус окружности ω равен 10,5.
Учитель математики договорился с пришедшими на кружок 23 учениками, что они выберут, кто из них будет лжецом (всегда лгать), а кто — рыцарем (всегда говорить правду). После чего учитель раздал ученикам карточки с числами, причём числа на всех карточках различны. Ученики встали по кругу и посмотрели
Точки K, M, P лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC соответственно. Известно, что BKPM — квадрат, а расстояния от точек K и M до прямой AC равны 13 и 17 соответственно. Найдите площадь квадрата BKPM.
Найдите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям: число нечётное, но не является простым; оно может быть представлено в виде суммы таких двух натуральных чисел, что если одно из этих чисел увеличить в 178 раз, а другое — уменьшить в 178 раз, их сумма не изменится.
Назовём натуральное четырёхзначное число хорошим, если оно имеет в своей записи ровно две различные цифры, причём эти цифры имеют одну чётность. Найдите количество хороших чисел.
Время работы ноутбука от батареи обратно пропорционально мощности, потребляемой всеми его компонентами. Если ноутбук полностью заряжен, то он проработает с максимальной яркостью экрана 4 часа. При этом 2/3 мощности потребляет экран. Вася использует ноутбук следующим образом: каждый раз, когда батаре
На доске написано число 987,656,789. Вася заменил в нём какие-то 4 цифры так, что получилось минимально возможное девятизначное число, делящееся на 275. Найдите это число.
Окружность ω касается оснований AD и BC равнобокой трапеции ABCD в их серединах и пересекает боковую сторону AB в точках K и L таких, что K лежит между A и L, а AK=24, KL=30, BL=10. Найдите квадрат радиуса окружности ω.
Дано множество чисел M={2024,2025,ldots,2031}. Для каждого непустого подмножества множества M (включая само множество M) вычислили сумму чисел, входящих в это подмножество, а затем все эти суммы сложили, получив число S. На какое двузначное число заканчивается S?
На клетки доски 12 × 12 положили камни попарно различного веса (в каждую клетку положили ровно один камень). Тройку клеток назовём хорошей, если они расположены в виде «уголка», а камень, лежащий в «вершине» уголка, тяжелее каждого из двух камней, лежащих в двух остальных клетках уголка. Какое наибо
