Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Центр окружности радиуса расположен на гипотенузе треугольника . Известно, что пересекает в точках и ( лежит между и ) и касается обоих катетов треугольника . Найдите , если , а радиус окружности равен .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — центр окружности, и — точки касания окружности с катетами и соответственно, а , . Из прямоугольных треугольников и получаем соотношения

Отсюда следует, что

Решая это уравнение, получаем, что

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

На гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки P и Q (P лежит между A и Q) такие, что AP²+BQ²=PQ²=√(578). Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника CPQ окружности.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

В треугольной пирамиде ABCD углы ACB, BCD и ACD прямые. На рёбрах CD, AC и BD отмечены точки P, Q и R соответственно, причём dfrac{DP}{DC}=dfrac{AQ}{AC}=dfrac13, dfrac{DR}{DB}=dfrac12. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью PQR, если известно, что AC=3, BC=4, а угол между плоскостью PQR и

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8

В треугольнике ABC с острыми углами при вершинах A и B проведена высота CH. Точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно. Площадь треугольника AHM равна 120, а радиус вписанной в него окружности равен dfrac{15}{4}. Площадь треугольника BHN равна 48, а радиус вписанной в него окружности равен

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В треугольнике PQR на стороне PQ выбрана точка K, а на стороне QR — точка L. Отрезки PL и KR пересекаются в точке T. Чему равна площадь треугольника PQR, если S_PKT=10, S_PTR=11, S_RTL=12?

Сложная

Планиметрия