Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 2

В остроугольном треугольнике проведена высота . Точки и — центры окружностей, вписанных в треугольники и соответственно, а и — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника .

Ответ

Ответ. .

Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, следовательно, и — биссектрисы прямых углов и соответственно. Тогда , , а . Значит,

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 1

Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке P. Известно, что AP=1, BP:PC=2, а высота BH треугольника ABC равна 0,5. Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника ACP.

Простая

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 2

Трапеция ABCD, основание AD которой вдвое больше основания BC, вписана в окружность ω. Прямая, проходящая через вершину B параллельно CD, пересекает вторично окружность ω в точке P, а сторону AD — в точке N. Найдите периметр трапеции ABCD, если известно, что BN=4, PN=9.

Простая

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 1

Точки K, M, P лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC соответственно. Известно, что BKPM — квадрат, а расстояния от точек K и M до прямой AC равны 13 и 17 соответственно. Найдите площадь квадрата BKPM.

Простая

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 2

Биссектриса внутреннего угла при вершине A и биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекаются в точке E. Найдите angle BAC, если angle BEC=69^circ. Ответ укажите в градусах.

Простая

Планиметрия