Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 2

Найдите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условиям:

число нечётное, но не является простым;
оно может быть представлено в виде суммы таких двух натуральных чисел, что если одно из этих чисел увеличить в раз, а другое — уменьшить в раз, их сумма не изменится.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть данное число представимо в виде , , и в виде

Отсюда получаем равенство

откуда . Значит, . Второе из данных условий выполнено при любых . Минимальное , для которого верно первое условие, — это . Искомое число равно .

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 2

Найдите количество пар целых чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению 4x²-y²=31⁴⁰⁵.

Простая

Теория чисел

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 1

На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число A=1188, чтобы получилось некоторое натуральное число в натуральной степени, отличной от 1?

Простая

Теория чисел

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 1

Вася написал на доске натуральные числа N и N+1. Он заметил, что сумма цифр каждого из этих чисел делится на 20. Оказалось, что N — наименьшее число, для которого это условие выполняется. Найдите сумму цифр числа N.

Простая

Теория чисел

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 1

Известно, что число 3x-11y делится без остатка на число 130. Сколько различных остатков может давать число 4x+20y при делении на число 130, если известно, что x и y — целые?

Простая

Теория чисел