(4 баллов) Найдите наименьшее натуральное n такое, что 0,underbrace{99ldots9}n>(2022/2023). (4 баллов) В очереди в буфет стоят несколько семиклассников и восьмиклассников. Если бы каждый семиклассник купил по 3 булочки, а каждый восьмиклассник — по 1, то в буфете осталось бы 13 булочек. А если бы каждый семиклассник купил по 1 булочке, а каждый восьмиклассник — по 3, то в буфете осталось б (4 баллов) Натуральное число k≤100 таково, что kk является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать k? (4 баллов) В треугольнике ABC с углом B, равным 60circ, проведены биссектрисы AY и CX. На отрезках AX и CY отмечены точки K и N так, что KNparallel AC. Прямая KN пересекает отрезки CX и AY в точках L и M соответственно. Оказалось, что KL=LM=MN. Известно, что KN=9. Рисунок к задаче 8.4 (а) (4 баллов) По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные — соврали. (а) (2 балла) Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом? (б) (2 балла) Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за с (4 баллов) На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него. (а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число. (б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске? (4 баллов) У Егора есть доска 5 × 5, в каждой клетке которой изначально было написано число 0. Он поставил фишку в левую нижнюю клетку и увеличил число в ней на 1. Далее Егор перемещал фишку по доске, каждый раз переставляя в соседнюю по стороне клетку. После каждого перемещения Егор увеличивал числ (4 баллов) На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD отмечена точка T так, что AD=BT. Оказалось, что AB=BC=CT, angle ABT=angle CAD, angle ABC=132circ. Сколько градусов составляет угол BCD? Рисунок к задаче 8.8 
