Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

В треугольнике проведены высота и биссектриса . Точка лежит между точками и . Найдите , если , , .

Ответ

Ответ. .

Решение. По теореме о биссектрисе . Пусть . Тогда . По теореме Пифагора

Отсюда , поэтому . Тогда

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Угол A остроугольного треугольника ABC равен 60^circ, а AB>AC. Пусть I — точка пересечения биссектрис, а H — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите angle ABC, если angle AHI=78^circ. Ответ укажите в градусах.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

В равностороннем треугольнике PQR проведена вписанная окружность. Высота PH пересекает окружность в точке A, отличной от H. Прямая AQ вторично пересекает окружность в точке B. Найдите радиус окружности, если AB=√(63).

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Центр окружности ω радиуса R расположен на гипотенузе AC треугольника ABC. Известно, что ω пересекает AC в точках P и E (P лежит между A и E) и касается обоих катетов треугольника ABC. Найдите CE, если AP=4, а радиус окружности ω равен 10,5.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 9

В треугольной пирамиде боковые грани, имеющие площади dfrac{1625}{4}, dfrac{1885}{4}, 585, образуют равные углы с основанием. Площадь основания равна 360. Какой наименьший объём может иметь такая пирамида? Если необходимо, ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Сложная

Планиметрия