Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

В равностороннем треугольнике проведена вписанная окружность. Высота пересекает окружность в точке , отличной от . Прямая вторично пересекает окружность в точке . Найдите радиус окружности, если .

Ответ

Ответ. .

Решение варианта 1. Пусть радиус окружности равен . Тогда сторона треугольника равна , а . По теореме Пифагора

По теореме о касательной и секущей

поэтому

Следовательно,

Так как , получаем .

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8

В треугольнике ABC с острыми углами при вершинах A и B проведена высота CH. Точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно. Площадь треугольника AHM равна 120, а радиус вписанной в него окружности равен dfrac{15}{4}. Площадь треугольника BHN равна 48, а радиус вписанной в него окружности равен

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 8

Дана треугольная пирамида SABC. Известно, что ортогональные проекции рёбер SA, SB, SC на плоскость ABC имеют равные длины. Также равные длины имеют ортогональная проекция ребра SC на плоскость SAB и ортогональная проекция ребра SB на плоскость SAC. Найдите отношение AB:AC, если известно, что оно не

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Угол A остроугольного треугольника ABC равен 60^circ, а AB>AC. Пусть I — точка пересечения биссектрис, а H — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите angle ABC, если angle AHI=78^circ. Ответ укажите в градусах.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

На гипотенузе AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки P и Q (P лежит между A и Q) такие, что AP²+BQ²=PQ²=√(578). Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника CPQ окружности.

Сложная

Планиметрия