На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведённых линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить кажды Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E. Точки касания описанных окружностей треугольников ABE и CDE с их общими внешними касательными лежат на окружности ω. Точки касания описанных окружностей треугольников ADE и BCE с их общими внешними касательными лежат на окружности γ. Найдите все натуральные n, для которых существует такое чётное натуральное a, что число (a-1)(a2-1)ldots(an-1) является точным квадратом. Шахматного короля поставили на клетку доски 8 × 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результат Пусть P1(x) и P2(x) — приведённые квадратные трёхчлены, а точки A1 и A2 — соответственно вершины парабол y=P1(x) и y=P2(x). Через m(g(x)) будем обозначать наименьшее значение функции g(x). Известно, что разности m(P1(P Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа a, b, c и заменить число b на a-b+c. При каком наибольшем k Петя мог выбрать исходные числа В строку выписаны числа 1, 2, 3,..., 60 (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки +, - и × между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на 3, На периметре треугольника ABC выбраны точки D1, D2, E1, E2, F1, F2 так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке A, F1, F2, B, D1, D2, C, E1, E2. Оказалось, 
