ВсОШ 2025, 9 класс, задача 5
Пусть и — приведённые квадратные трёхчлены, а точки и — соответственно вершины парабол и . Через будем обозначать наименьшее значение функции . Известно, что разности и оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой и прямой, содержащей ось .
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть данные трёхчлены —
и , где и — координаты вершин парабол. Тогда , а
Если , то минимальное значение выражения равняется нулю, откуда . Последнее противоречит тому, что — положительное число. Таким образом, , откуда
и
Аналогично, и .
Теперь условие равенства разностей переписывается в виде . Отсюда, поскольку и , получаем , то есть . Значит, искомый угол равен .