ВсОШ 2025, 9 класс, задача 6
Петя выбрал попарно различных положительных чисел, меньших , и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа , , и заменить число на . При каком наибольшем Петя мог выбрать исходные числа и сделать несколько операций так, чтобы после них среди чисел оказалось целых?
Ответ
Ответ. При .
Решение.
Оценка. Покажем, что целых чисел никогда не станет больше .
Будем следить за разностями между числом и следующим за ним по часовой стрелке. Если подряд стояли числа , и , то их разности были равны и . После применения операции к числу получатся числа , и , разности которых равны и . Итак, в результате операции две соседние разности просто переставляются местами. Изначально все разности были нецелыми, поэтому они в любой момент времени будут нецелыми. Таким образом, два целых числа никогда не могут появиться рядом и, значит, их будет не больше .
Пример. Для начала расставим по кругу попеременно числа и . Если с каждым числом проделать операцию, то оно будет заменено на , и числа через одно будут целыми.
Осталось подправить пример так, чтобы все числа стали различными. Для этого достаточно прибавить к каждому числу по своему маленькому числу, а к каждому числу — сумму чисел, прибавленных к его соседям. Например, выбрав , можно прибавить к последовательным числам числа ; тогда к числам будут прибавляться числа . В результате все числа станут различными.
Явно построенный пример выглядит так: