ВсОШ 2025, 9 класс, задача 8

На периметре треугольника выбраны точки , , , , , так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке , , , , , , , , . Оказалось, что . Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых , , и , , , равны.

Ответ

Решение. Начнём со следующей полезной леммы.

Лемма. Пусть точки и выбраны соответственно на сторонах и параллелограмма так, что . Тогда точка равноудалена от прямых и .

Первая схема к решению задачи 9.8

Доказательство. Поскольку и , имеем . Так как , отсюда и следует, что расстояния от точки до прямых и равны.

Перейдём к решению. Пусть прямые из условия образуют треугольники и . Выберем точку так, что — параллелограмм; согласно лемме, точка равноудалена от прямых , , и . Значит, существует окружность с центром , касающаяся этих прямых в некоторых точках , , и соответственно.

Вторая схема к решению задачи 9.8

Тогда из равенств отрезков касательных вытекает, что

Аналогично получаем, что и . Складывая полученные три равенства, получаем требуемое равенство периметров.

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 8

(20 баллов) В треугольник ABC вписана окружность ω, касающаяся стороны BC в точке K. Окружность ω' симметрична окружности ω относительно точки A. Точка A₀ выбрана так, что отрезки BA₀ и CA₀ касаются ω'. Пусть M — середина стороны BC. Докажите, что прямая AM делит отр

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2019, 9 класс, задача 6

На стороне AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята точка D. На меньшей дуге CD окружности, описанной около треугольника BCD, выбрана точка K. Луч CK пересекает прямую, параллельную BC и проходящую через A, в точке T. Пусть M - середина отрезка DT. Докажите, что angle AKT=angle CAM.

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт

Сложная

Планиметрия

ВсОШ 2023, 9 класс, задача 7

(20 баллов) Дана трапеция ABCD, в которой ADparallel BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в т

Сложная

Планиметрия