(7 баллов) Квадратный трёхчлен f(x)=ax2+bx+c имеет два различных вещественных корня x1 и x2. Известно, что f(x1+x2)=2025. Чему может равняться c? (Н. Агаханов) (7 баллов) В стране 30 городов и 30 двусторонних авиалиний, соединяющих города по циклу. Можно ли добавить дополнительно ещё 10 авиалиний так, чтобы после этого из любого города можно было добраться до любого другого не более чем за 4 перелёта? (П. Кожевников) (7 баллов) Положительные числа a, b, c таковы, что a2b+b2c+c2a=2 и ab2+bc2+ca2=4. Докажите, что из чисел a, b, c какие-то два отличаются более чем на 2. (А. Кузнецов) (7 баллов) Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости отметить конечное число узлов сетки так, чтобы было отмечено не менее двух точек, и для любой пары отмеченных точек нашлась бы отмеченная точка, равноудалённая от них? (И. Ефремов) (7 баллов) Высоты BD и CE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H, высоты треугольника ADE пересекаются в точке F, а точка M — середина стороны BC. Докажите, что BH+CHge 2FM. (А. Кузнецов) (7 баллов) Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Могло ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа? (А. К (7 баллов) Дана трапеция ABCD. Известно, что angle DAB=angle ABC=90circ, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке E, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников ABE и CDE касаются. (А. Терёшин) (7 баллов) В клетчатом прямоугольнике 2 × 100 каждую клетку красят в белый или чёрный цвет. Доминошкой будем называть клетчатый прямоугольник 1 × 2 или 2 × 1. Оказалось, что существует единственный способ разбить данный прямоугольник 2 × 100 на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала хотя бы (7 баллов) Назовём натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и 117=3 · 3 · 13 — однобокие, а число 682=2 · 11 · 31 — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, (7 баллов) На графике функции y=x2 отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка [0;100000]. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек A, B, C, A', B', C' таких, что площади треугольников ABC и A'B'C' равны. (А. Терёшин) 
