ВСОШ 2025, региональный этап, 10 класс, задача 6
( баллов) Изначально на табло горит число . При нажатии на кнопку число на табло изменяется на или . На кнопку нажали раз. Могло ли после этого на табло гореть число , если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа?
(А. Кузнецов)
Ответ
Ответ. Не могло.
Первое решение. Назовём числа , , , маленькими, а остальные числа, которые могут появиться на табло, т. е. числа , , , — большими. Заметим, что после нажатия из маленького числа обязательно получается большое, а из большого числа — маленькое. Значит, после нечётного количества операций на табло будет гореть большое число.
Второе решение. Выстроим все целые числа от до в цепочку
Заметим, что если какое-то число горит на табло, то следующим числом может быть только соседнее число в цепочке. Но так как числа и стоят в цепочке на местах одной чётности, получить из числа число за нечётное количество шагов невозможно.