ВСОШ 2025, региональный этап, 10 класс, задача 5
( баллов) Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке , высоты треугольника пересекаются в точке , а точка — середина стороны . Докажите, что .
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Отразим относительно , получим точку , лежащую на и такую, что — середина и (см. рис. ). Аналогично, точка , симметричная относительно , такова, что — середина и .
Так как , имеем . Аналогично . Значит, — параллелограмм. В треугольнике точки и — середины сторон. Отметим также середину стороны , тогда — параллелограмм. Получается, что совпадает с , т. е. — середина . Так как и — середины и , имеем векторное равенство
Тогда по неравенству треугольника () получаем , что равно . Этим доказано нужное неравенство.
Замечание. Из решения несложно понять, что указанное в условии неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда , что эквивалентно .
Используемую «векторную теорему о средней линии» можно доказать, сложив равенства
и воспользовавшись тем, что , .