(7 баллов) У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 × 1, 1 × 2, 1 × 3, ldots, 1 × 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? (О. Подлипский) (7 баллов) На координатной плоскости нарисована парабола y=x2. Для данного числа k>0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что диаго (7 баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для игры в настольный теннис навылет всех жителей острова разделили на две команды A и B, причём в A жителей было больше, чем в B. Начали игру два игрока разных команд; после каждой партии проигравший иг (7 баллов) В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500. (С. Берлов) (7 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На продолжениях боковых сторон AB и BC за точку B отмечены точки D и E соответственно, а на основании AC отмечена точка F, причём AC=DE и angle CFE=angle DEF. Докажите, что angle ABC=2angle DFE. (А. Кузнецов) (7 баллов) На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске. (И. Богданов) (7 баллов) На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из неё в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались (7 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC выбраны точки P и Q так, что BP=PQ=QC. Точки X и Y выбраны соответственно на отрезках AC и AB так, что PXperp AC и QYperp AB. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC равноудалена от прямых XQ и YP. (А. Матвеев) (7 баллов) Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назовём множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одно (7 баллов) Существует ли натуральное число n>10100 такое, что десятичные записи чисел n2 и (n+1)2 отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел n2 и (n+1)2 должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, ldots, поровну циф 
