ВСОШ 2024, региональный этап, 9 класс, задача 2
( баллов) На координатной плоскости нарисована парабола . Для данного числа рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно . Докажите, что диагонали всех таких трапеций проходят через одну точку.
(Н. Агаханов)
Ответ
Решение. Пусть — одна из рассматриваемых трапеций, (см. рис. ). Пусть точки и имеют координаты и .
Легко получить уравнение прямой : , что после сокращения на превращается в . Но равно произведению половин оснований трапеции (это произведение расстояний от и до оси ). Отсюда . Следовательно, прямая проходит через фиксированную точку .
Замечание. Конечно, утверждение задачи верно для любой параболы (а не только для ).