ВсОШ 2024, региональный этап, 9, 10 классы, задача 4
( баллов) В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от до в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше , но не превосходит .
(С. Берлов)
Ответ
Решение. Сумма всех чисел ряда, кроме числа , равна , поэтому сумма чисел с какой-то из сторон от числа больше , пусть для определённости справа.
Пусть справа от стоят (слева направо) числа . Обозначим ; выберем наименьшее , для которого , так что . Если , то мы уже нашли желаемую группу чисел.
Пусть теперь . Докажем, что тогда нам подходит сумма . Действительно, поскольку , имеем . С другой стороны, , что и требовалось.