Средняя
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2024, 9 класс, Первый турВсероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2024, 10 класс, Первый турВсероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2024, 11 класс, Первый тур

ВсОШ 2024, региональный этап, 9, 10, 11 классы, задача 1

( баллов) У Олега есть набор из различных клетчатых прямоугольников размеров , , , , (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше ?

(О. Подлипский)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Не может.

Решение. Предположим противное, и пусть — наибольшая из длин выбранных прямоугольников. Тогда составлен клетчатый квадрат , где . Значит, его площадь не менее . С другой стороны, его площадь не больше, чем суммарная площадь всех прямоугольников , , , , , т.е. не больше . Противоречие.

Замечание. Расположив в квадрате прямоугольники , , , , «лесенкой» можно увидеть без вычислений, что их суммарная площадь меньше площади всего квадрата.

1

Только ответ «не может».

0
2

Только идея рассмотреть самый длинный из использованных прямоугольников (длины ).

1
3

Есть идея рассмотреть самый длинный прямоугольник, и замечено, что площадь, покрытая остальными использованными прямоугольниками, должна быть не меньше, чем (или эквивалентное утверждение, например, что площадь всего квадрата должна быть не меньше, чем ), без дальнейшего содержательного продвижения.

3
4

Есть идея рассмотреть самый длинный прямоугольник, и замечено, что суммарная площадь всех использованных прямоугольников не превосходит , без дальнейшего содержательного продвижения.

3
5

Есть идея рассмотреть самый длинный прямоугольник, и явно сказано, что суммарная площадь всех использованных прямоугольников меньше .

≥6
6

Баллы, перечисленные выше, не суммируются друг с другом.

-
7

Если во в целом верном решении рассмотрен лишь случай квадрата со стороной (а не больше).

-1
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2023, региональный этап, 10 класс, задача 1

(7 баллов) В таблице 6 × 6 изначально записаны нули. За одну операцию можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу, в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различными положительными числами? (А. Кузнецов, П. К
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2024, региональный этап, 9, 10 классы, задача 4

(7 баллов) В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500. (С. Берлов)
Средняя
Комбинаторика

ВсОШ 2023, региональный этап, 9 класс, задача 3

(7 баллов) Дано натуральное число n. На клетчатой доске 2n × 2n расставили 2n ладей так, что никакие две не стоят в одной горизонтали или одной вертикали. После этого доску разрезали по линиям сетки на две связных части, симметричных друг другу относительно центра доски. Какое наибольшее количество
Средняя
Комбинаторика

ВСОШ 2024, региональный этап, 9 класс, задача 3

(7 баллов) На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Для игры в настольный теннис навылет всех жителей острова разделили на две команды A и B, причём в A жителей было больше, чем в B. Начали игру два игрока разных команд; после каждой партии проигравший иг
Средняя
Комбинаторика