(20 баллов) Даны два приведённых квадратных трёхчлена f(x) и g(x); известно, что трёхчлены f(x), g(x) и f(x)+g(x) имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена f(x) равна разности корней трёхчлена g(x). Докажите, что разность корней трёхчлена f(x)+g(x) не больше этих разностей. (В каж (20 баллов) Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А (20 баллов) Каждое натуральное число, большее 1000, окрасили либо в красный, либо в синий цвет. Оказалось, что произведение любых двух различных красных чисел - синее. Может ли случиться, что никакие два синих числа не отличаются на 1? (С. Берлов) (20 баллов) Точка X лежит строго внутри описанной около треугольника ABC окружности. Обозначим через IB и IC центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон AC и AB соответственно. Докажите, что XIB · XIC>XB · XC. (Д. Бродский) (20 баллов) Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти 50 кучек и пронумеровать их числами от 1 до 50 так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй - хотя бы два камня, ldots, в пятидесятой - хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходн (20 баллов) Рассмотрим все 100-значные числа, делящиеся на 19. Докажите, что количество таких чисел, не содержащих цифр 4, 5 и 6, равно количеству таких чисел, не содержащих цифр 1, 4 и 7. (И. Ефремов) (20 баллов) Дана трапеция ABCD, в которой ADparallel BC, а лучи AB и DC пересекаются в точке G. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABC и ACD, пересекаются в точке E. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников ABD и BCD, пересекаются в т (20 баллов) У Пети есть 10000 гирь, среди них нет двух гирь равного веса. Также у него есть чудо-прибор: если положить в него 10 гирь, он сообщит сумму весов каких-то двух из них (при этом неизвестно, каких именно). Докажите, что Петя может использовать чудо-прибор так, чтобы через некоторое время у 
