ВсОШ 2023, 9 класс, задача 4
( баллов) Точка лежит строго внутри описанной около треугольника окружности. Обозначим через и центры вневписанных окружностей этого треугольника, касающихся сторон и соответственно. Докажите, что . (Д. Бродский)
Ответ
Решение. Обозначим через окружность с диаметром . Поскольку и , точки и лежат на (см. рис. 1).
Обозначим через центр вписанной окружности . Если точка лежит внутри угла , то углы и тупые, поэтому и . Перемножив эти неравенства, получим требуемое.
В противном случае точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой . Продлим лучи и до пересечения с в точках и соответственно. Поскольку четырёхугольник вписан в окружность с диаметром , то
откуда , поэтому . Кроме того, поскольку длина хорды окружности не превосходит длины диаметра,
откуда . Следовательно,
Замечание. Если разрешить точке находиться на описанной окружности треугольника , то неравенство обращается в равенство в вершине и в середине дуги .