ВсОШ 2023, 9 класс, задача 5
( баллов) Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти кучек и пронумеровать их числами от до так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй - хотя бы два камня, , в пятидесятой - хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходно на столе лежат кучек по камней в каждой. Найдите наибольшее такое, что после удаления из исходных кучек любых камней на столе всё равно останется много камней. (При удалении камней кучка не распадается на несколько.) (Д. Храмцов)
Ответ
Ответ. .
Решение. Если удалить полностью кучку, то, очевидно, не останется много камней. Значит, искомое значение меньше . (Альтернативно, можно удалить из всех кучек по камню.)
Осталось показать, что при удалении любых камней останется много камней. Пусть в кучках осталось камней соответственно; можно считать, что . Покажем, что при , то есть кучки с номерами от до удовлетворяют требованиям.
Пусть это не так, то есть при некотором . Это значит, что каждая из первых кучек содержит не более камня, то есть из неё удалено хотя бы камней. Поэтому общее количество удалённых камней не меньше, чем
Противоречие.