Петя написал на доске десять натуральных чисел, среди которых нет двух равных. Известно, что из этих десяти чисел можно выбрать три числа, делящихся на 5. Также известно, что из написанных десяти чисел можно выбрать четыре числа, делящихся на 4. Может ли сумма всех написанных на доске чисел быть мен Дан квадратный трёхчлен P(x). Докажите, что существуют попарно различные числа a, b и c такие, что выполняются равенства P(b+c)=P(a),qquad P(c+a)=P(b),qquad P(a+b)=P(c). (Н. Агаханов) В треугольной пирамиде ABCD на её гранях BCD и ACD нашлись соответственно точки A' и B' такие, что angle AB'C=angle AB'D=angle BA'C=angle BA'D=120circ. Известно, что прямые AA' и BB' пересекаются. Докажите, что точки A' и B' равноудалены от прямой CD. (А. Заславский) В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B, то и B дружит с A). Оказалось, что при любом выборе 101 человека из этой компании количество пар дружащих людей среди них нечётно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании. (Е. Бакаев, И. Богданов) Пусть S — 100-элементное множество, состоящее из натуральных чисел, не превосходящих 10,000. Отметим в пространстве все точки, каждая из координат которых принадлежит множеству S. К каждой из 1,000,000 отмеченных точек (x,y,z) прикрепим шарик с написанным на нём числом (x2+y2+z Последовательность чисел a1,a2,ldots,a2022 такова, что an-akge n3-k3 для любых n и k таких, что 1le nle 2022 и 1le kle 2022. При этом a1011=0. Какие значения может принимать a2022? (Н. Агаханов) Произведение цифр натурального числа n равно x, а произведение цифр числа n+1 равно y. Может ли так случиться, что произведение цифр некоторого натурального числа m равно y-1, а произведение цифр числа m+1 равно x-1? (А. Кузнецов) В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера 1,2,ldots,100, именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на k. При каком наименьше Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность ω. Диагонали AC и BD пересекаются в точке P. Точка M — середина отрезка AB. Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает окружность ω в точках K и L. Точка N — середина дуги CD описанной окружности треугольника PCD, не содержащей точку P. Даны неотрицательные числа a,b,c,d такие, что a+b+c+d=8. Докажите, что (a3/a2+b+c) +(b3/b2+c+d) +(c3/c2+d+a) +(d3/d2+a+b) ge4. (А. Кузнецов) 
