ВсОШ 2022, региональный этап, 9 и 11 классы, задача 6

Последовательность чисел такова, что для любых и таких, что и . При этом . Какие значения может принимать ?

(Н. Агаханов)

Ответ

Ответ. .

Решение. Записывая условие при , и при , , получаем

то есть . Отсюда и следует ответ.

Замечание. Последовательность, удовлетворяющая условию, существует, а именно . Более того, аналогично решению выше несложно показать, что такая последовательность единственна. Однако для решения задачи не требуется ни находить все такие последовательности, ни даже приводить пример такой последовательности.

Доказано, что .

Доказано только, что (или только ).

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2023, региональный этап, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа a₀,a₁,ldots,a₉ и написал на доске уравнение a₉x⁹+a₈x⁸+ldots+a₂x²+a₁x+a₀=*. Докажите, что Вася сможет вместо звёздочки

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, региональный этап, 10 и 11 классы, задача 2

Дан квадратный трёхчлен P(x). Докажите, что существуют попарно различные числа a, b и c такие, что выполняются равенства P(b+c)=P(a),qquad P(c+a)=P(b),qquad P(a+b)=P(c). (Н. Агаханов)

Простая

Алгебра

ВСОШ 2024, региональный этап, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Сергей утверждает, что нашёл различные вещественные числа x,y,z такие, что dfrac1{x²+x+1}+dfrac1{y²+y+1}+dfrac1{z²+z+1}=4. Могут ли слова Сергея быть правдой? (П. Кожевников, фольклор)

Простая

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфа

Простая

Алгебра