ВсОШ 2022, региональный этап, 11 класс, задача 10
Даны неотрицательные числа такие, что . Докажите, что
(А. Кузнецов)
Ответ
Первое решение. Заметим, что
Здесь мы оценили знаменатель по неравенству о средних: .
Сложим полученное неравенство с тремя аналогичными. Теперь нам достаточно доказать, что
Поскольку , это равносильно неравенству
Но из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным мы получаем, что
и, аналогично,
Складывая эти два неравенства, получаем требуемое.
Второе решение. По неравенству Коши-Буняковского-Шварца
Таким образом, достаточно доказать, что
Заметим, что
поэтому достаточно проверить, что
Сделаем замену
Тогда
Неравенство примет вид
После раскрытия сокращения остаётся доказать, что
Остаётся заметить, что
Первое неравенство получается раскрытием скобок: после сокращения в левой его части остаются лишь неотрицательные слагаемые. Второе получается сложением четырёх неравенств о средних вида .