ВсОШ 2022, региональный этап, 10 и 11 классы, задача 2

Дан квадратный трёхчлен . Докажите, что существуют попарно различные числа , и такие, что выполняются равенства

(Н. Агаханов)

Ответ

Решение. Пусть — абсцисса вершины параболы , так что прямая — ось симметрии параболы. Тогда для любых чисел и с суммой (т. е. таких, что точки и симметричны относительно ) выполнено . Таким образом, любая тройка попарно различных чисел , , таких, что , будет удовлетворять условию задачи. Можно взять, скажем, , , .

За использование (очевидного) факта, что существует тройка (или пара) попарно различных чисел с заданной суммой, баллы не снижаются.

Сформулировано условие, эквивалентное равенству , т. е. показано, что означает или (иначе говоря, точки и симметричны относительно оси параболы).

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2024, региональный этап, 10 класс, задача 6

(7 баллов) Сергей утверждает, что нашёл различные вещественные числа x,y,z такие, что dfrac1{x²+x+1}+dfrac1{y²+y+1}+dfrac1{z²+z+1}=4. Могут ли слова Сергея быть правдой? (П. Кожевников, фольклор)

Простая

Алгебра

ВсОШ 2022, региональный этап, 9 и 11 классы, задача 6

Последовательность чисел a₁,a₂,ldots,a₂₀₂₂ такова, что a_n-a_kge n³-k³ для любых n и k таких, что 1le nle 2022 и 1le kle 2022. При этом a₁₀₁₁=0. Какие значения может принимать a₂₀₂₂? (Н. Агаханов)

Простая

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Велодорожка состоит из двух участков: сначала идёт асфальтовый, а затем песчаный. Петя и Вася стартовали порознь (сначала Петя, а затем Вася), и каждый проехал всю дорожку. Скорость каждого мальчика на каждом из двух участков была постоянной. Оказалось, что они поравнялись в середине асфа

Простая

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 10 класс, задача 7

(7 баллов) Петя взял некоторые трёхзначные натуральные числа a₀,a₁,ldots,a₉ и написал на доске уравнение a₉x⁹+a₈x⁸+ldots+a₂x²+a₁x+a₀=*. Докажите, что Вася сможет вместо звёздочки

Простая

Алгебра