(10 баллов) 16 детей различного роста встали в круг, все лицом в центр. Каждый из них сказал: «Мой правый сосед выше моего левого соседа». Какое наименьшее количество детей могло сказать правду? а) 0; б) 1; в) 2; г) больше 2. (10 баллов) У Васи имеются: а) 2 различных тома из собрания сочинений А. С. Пушкина; высота каждого тома — 30 см; б) собрание сочинений Е. В. Тарле в 4-х томах; высота каждого тома — 25 см; в) книга лирических стихов высотой 40 см, опубликованных самим Васей. Вася хочет расположить эти книги на полк (10 баллов) Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, на диагонали AC отмечена точка M такая, что AM=MC. Отметьте верные утверждения. а) Расстояния от точки M до концов диагонали BD равны: BM=MD. б) Сумма площадей треугольников ABM и AMD равна сумме площадей треугольников BMC и (20 баллов) В марсианском календаре год состоит из 5882 дней, а в каждом месяце 100 или 77 дней. Сколько месяцев в марсианском календаре? (20 баллов) Профессор К., желая прослыть остряком, планирует на каждой своей лекции рассказывать не менее двух, но и не более трех разных анекдотов. При этом множества анекдотов, рассказанных на разных лекциях, не должны совпадать. Сколько всего лекций сможет прочесть профессор К., если он знает 8 а (20 баллов) Назовем словом любую конечную последовательность букв русского алфавита. Сколько различных пятибуквенных слов можно составить из букв слова САМСА? А из букв слова ПАСТА? В ответе укажите сумму найденных чисел. (30 баллов) На стороне AC треугольника ABC, в котором angle ACB=45circ, отмечена точка K такая, что AK=2KC. На отрезке BK нашлась такая точка S, что ASperp BK и angle AKS=60circ. Докажите, что AS=BS. Чертёж к задаче (30 баллов) Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, опущенные из вершин A и C, пересекаются в точке H, а также пересекают биссектрису угла ABC в точках F и G соответственно. Докажите, что треугольник FGH — равнобедренный. Два варианта расположения точек (30 баллов) На стороне BC квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EC=CF:FB=1:2. На стороне CD отмечена точка G так, что CG:GD=2:1. На стороне AD отмечены точки H и I так, что AI:ID=DH:HA=1:2. Отрезок BG пересекает отрезки AE, IF и HC в точках J, K и L соответственно. Площадь какого из четырех (40 баллов) Пусть P(n) обозначает произведение цифр натурального числа n. При каком наибольшем натуральном k найдётся такое натуральное число n>10, что P(n) (40 баллов) Числа от 1 до 600 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе более одного числа, то сумма любых двух чисел из этой группы делится на 6. Какое наименьшее количество групп может быть? (40 баллов) Пять мальчиков играли в слова: каждый из них написал по 7 различных слов. Оказалось, что у каждого мальчика есть ровно по 2 слова, которые не встречаются ни у одного из остальных мальчиков. Какое наибольшее количество различных слов могли суммарно написать мальчики? (40 баллов) В магазине, где все товары стоят целое число рублей, действуют два специальных предложения: 1) Покупатель, купивший одновременно не менее трех товаров, может выбрать в подарок (бесплатно) один товар, стоимость которого не превышает минимальной из стоимостей оплаченных товаров; 2) Покупат (40 баллов) Докажите, что среди трех чисел 7772021 · 9992021-1, 9992021 · 5552021-1 и 5552021 · 7772021-1 только одно делится на 4. 
