СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

( баллов) На стороне треугольника , в котором , отмечена точка такая, что . На отрезке нашлась такая точка , что и . Докажите, что .

Чертёж к задаче

Ответ

Решение: В прямоугольном треугольнике с прямым углом угол равен , следовательно, .

В треугольнике угол равен , а . Получаем, что треугольник — равнобедренный с основанием и углами при основании, равными . Тогда

а также

Таким образом, треугольник — равнобедренный с основанием , откуда .

Рассмотрим треугольник . В нем . Следовательно, это равнобедренный треугольник с основанием , то есть . В итоге получаем .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17^circ. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) Маша отмечает на стороне CD квадрата ABCD точку E и находит длину отрезка AE. Миша проводит биссектрису угла BAE, отмечает точку F пересечения этой биссектрисы и стороны BC квадрата и находит сумму длин отрезков BF и ED. Может ли Маша выбрать точку E так, чтобы найденная ею длина отрезка

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5

(30 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (угол B равен 90 градусов). Точки D и E — середины сторон AB и AC. Точка F, лежащая в той же полуплоскости относительно прямой DE, что и точка A, такова, что треугольник DEF — равносторонний. Прямые AC и BF пересекаются в точке X, прямые A

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) В параллелограмме PQRS точка N — середина стороны RS. На стороне PS нашлась точка T такая, что angle PTN=angle QNT. Известно, что PT=5, а TS=3. Найдите длину отрезка QN. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия