СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 10

( баллов) Пусть обозначает произведение цифр натурального числа . При каком наибольшем натуральном найдётся такое натуральное число , что

Ответ

Ответ: .

Решение: Покажем вначале, что . Действительно, при в наш набор чисел входит . Оно равно нулю, поскольку число заканчивается на . Тогда , что невозможно.

Приведем теперь реализацию для . В качестве можно взять число вида при любом . В этом случае , , а числа , очевидно, возрастают.

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске написаны числа 1², 2², 3²,..., 1000². Двое игроков по очереди стирают по одному из чисел на доске до тех пор, пока на доске не останется всего два числа. Если разность этих двух чисел делится на 13, то выигрывает второй игрок, иначе —

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2024, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске были записаны два примера на сложение чисел, но хулиган Вася стер в каждом примере одно из слагаемых, а также получившийся результат: 99+ldots=ldots 203+ldots=ldots Отличник Петя помнит, что стертое слагаемое было одинаковым для обоих примеров, а результатами являлись квадраты р

Сложная

Алгебра

Теория чисел

Функции

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

(40 баллов) Петя задумал некоторое натуральное число. За один ход он может домножить его на любое рациональное число от 1/3 до 2. Докажите, что за несколько таких операций Петя сможет получить число 1001.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 11

(40 баллов) Числа от 1 до 600 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе более одного числа, то сумма любых двух чисел из этой группы делится на 6. Какое наименьшее количество групп может быть?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика