СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 4
( баллов) В марсианском календаре год состоит из дней, а в каждом месяце или дней. Сколько месяцев в марсианском календаре?
Ответ
Ответ: .
Решение: Пусть — количество месяцев, в которых дней, — количество месяцев, в которых дней. По условию, . Очевидно, , иначе .
Заметим, что
Значит, при некотором целом , откуда
Правая часть делится на , но и взаимно просты. Тогда на делится число , лежащее между и . Это возможно лишь в случае . Поэтому и .