Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада школьников «Физтех» по математике» за 2022/23 учебный год. В выбранном комплекте: 20 задач и 4 файла для подготовки.
Вера написала на доске восьмизначное число. Надя переставила три первые его цифры в конец и написала полученное восьмизначное число на доске (Например, если Вера написала 12,345,678, то Надя написала 45,678,123.) Люба сложила два написанных на доске числа. Сколько различных чисел из отрезка [23,100,
Найдите сумму квадратов всех решений уравнения x2-14[3x]+152=0. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)
Окружности Ω и ω радиусов 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точке T. Прямая ell пересекает окружность ω в точках A и B, а окружность Ω — в точках C и D, причём B лежит между A и C, C лежит между B и D, а центры окружностей лежат по одну сторону от ell. Известно, что AB:BC:CD
На рёбрах BC, AB и A1B1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечены точки K, L и M соответственно так, что BC:BK=AL:LB=B1M:MA1=2. Прямая ell пересекает прямые CD, C1K, B1D1 и LM в четыр
По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идёт по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он и
Окружность проходит через вершины A и B прямоугольного треугольника ABC (angle C=90circ), а также через точку L пересечения стороны BC с биссектрисой AL. Катет AC точкой пересечения N с окружностью оказался разделён на два отрезка: AN=4, NC=8. а) Найдите площадь треугольника ABC. При необ
Последовательность a1,a2,ldots,an,ldots такова, что a1=8,866,411, а для любого натурального значения n справедливо соотношение a1+a2+ldots+an=(n(3n-2)(3n+5)an/8). Найдите a508.
Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более S метров. При каком наименьшем S они гарантированно мо
Известно, что cosα-sinβ=frac14;qquad cos3α+sin3β=-(11/16). а) Найдите наибольшее значение выражения cos2α+sin2β. б) Найдите наибольшее значение выражения sin2α+cos2β.
Уравнение x3+7x2-42x+a=0 имеет три различных корня, которые образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра a. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.
Окружность проходит через вершину B треугольника ABC и через его точку пересечения биссектрис I, причём прямая AI касается этой окружности. Пусть X и Y — точки пересечения сторон AB и BC соответственно с этой окружностью, а Z есть точка пересечения стороны AC с прямой IY. а) Найдите BY, если XI=3,5;
Про натуральные числа n, m, k и l известно, что mn=kl=350. Оказалось, что точки с координатами (m;n) и (k;l) различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.
На декартовой плоскости имеется прямоугольный бильярдный стол с вершинами в точках (0;0), (0;6), (10;0), (10;6) и шар в точке (2;3). Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка (10;0)), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, сн
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S, в которой AB=14√(42), AS=49√6. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине A, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?
Найдите количество различных значений функции f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+[(4x/3)] на отрезке x∈[0;75]. (Здесь [x] обозначает целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, [1,7]=1, [-1,7]=-2.)
У Олега есть конфеты 32 сортов. Он хочет выложить конфеты в ряд так, чтобы для любых двух сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ему для этого хватит?
На трёх параллельных прямых ell1, ell2, ell3 взяты точки A1, A2, A3 соответственно. а) Треугольник A1A2A3 равнобедренный. Известно, что расстояние между прямыми ell1 и ell2 равно
