Физтех 2024, 9 класс, задача 3

( баллов) На стороне треугольника отмечены точки и так, что . Прямая, параллельная и проходящая через точку , пересекает продолжение стороны за точку в такой точке , что . Найдите , если , .

Ответ

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 3

Решение. Пусть - точка пересечения и . Поскольку , а , по теореме Фалеса и .

Из равенства следует, что . Обозначим длину любого из этих отрезков через . Поскольку и треугольник - равнобедренный, , поэтому - биссектриса треугольника .

Значит, . В треугольнике имеем , , , . По теореме косинусов

Следовательно, .

Похожие задачи

Физтех 2020, 10 класс, задача 5

(5 баллов) По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0;0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В на

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 5

(5 баллов) Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB - диаметр большей окружности Ω, а хорда BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника BACE, если известно, что CD=1, BD=3.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2021, 10 класс, задача 1

(5 баллов) Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность с диаметром BD пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Точки M и N - середины отрезков AD и CD соответственно. Известно, что PMparallel TN. а) Найдите угол ABC. б) Пусть дополнительно известно, что MP=frac12, NT=fr

Сложная

Планиметрия