Физтех 2021, 10 класс, задача 1
( баллов) Точка лежит на стороне треугольника . Окружность с диаметром пересекает стороны и в точках и соответственно. Точки и - середины отрезков и соответственно. Известно, что .
а) Найдите угол .
б) Пусть дополнительно известно, что , , . Найдите площадь треугольника .
Ответ
Ответ. а) ; б) .
Решение. а) Точки и лежат на окружности с диаметром , поэтому . Следовательно, треугольники и прямоугольные; и - их медианы. Так как медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, , . Пусть . Поскольку треугольник равнобедренный, и , (как внешний угол ). Углы и равны в силу параллельности прямых и . А так как треугольник также равнобедренный, то
Значит, сумма углов и треугольника равна , и его третий угол также равен .
б) В силу сказанного выше , . Обозначим . Тогда . По теореме косинусов для треугольников и получаем, что
Но по теореме Пифагора , откуда следует, что
Далее находим: